Gasiti o restrictie bijectiva a functiei f:R->R, f(x)=x²+x si aflati-i inversa.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
La modul general functia de gradul 2,
f:R->R f(x) =ax^2 +bx+c nu este nici injectiva (deoarece exista valori diferite ale lui x, in care functia ia aceeasi valoare), dar nici surjectiva (deoarece exista valori y din codomeniu, pentru care nu avem x din domeniu, astfel incat y=f(x)
Totusi exista restrictii privind domeniul de definitie sau a codomeniului, astfel incat f sa fie injectiva, respectiv surjevtiva, deci bijectiva.
Pentru a gasi o astfel de restrictie sa studiem functia data: a=1,b=1, c=0
-graficul ei este o parabola cu ramurile in sus, deoareca a=1>0
-are varful parabolei in punctul de coordonate V(x, f(x)) =(-b/2a, - delta/4a)= (-1/2, -1/4)
Pentru a fi injectiva, domeniul de definitie nu trebuie sa fie mai mare decât intervalul (-infinit, - 1/2] sau [-1/2, +infinit)
Pentru a fi surjectiva, codomeniul nu trebuie sa fie cu valori din afara valorilor functiei, adica din afara [-1/4, +infinit)
Cu cele de mai sus spuse, gasim rapid restrictii bijective:
f:(-infinit, - 1/2] - >[-1/4, +infinit) f(x) =x^2 +x
Sau
f:[-1/2, +infinit) - >[ - 1/4, +infinit) f(x) =x^2 +x
Pe restrictiile bijective functia admite inversa.
Sa gasim functia inversa pentru prima restrictie
f(x) =y=x^2 +x
x^2 +x-y=0
Cu solutiile
x1=( - 1+rad(1+4y) /2 sau
x2= (-1-rad(1+4y) / 2
O alegem pe cea care se afla in dome iul de definitie ales: x=(-1-rad(1+4y) /2
Cealalta trebuie sa respecte (-1+rad(1+4y)<= - 1
rad(1+4y)<=0 imposibil)
Concluzie
functia inversa este g:[-1/4, +infinit) - >(-infinit, - 1/2]
g(y) =(-1-rad(1+4y))/2