Question

generatoarele unui con circular drept au lungimea de 18√2 cm si fiecare dintre ele formează cu planul bazei unghiuri cu masura u. pentru u aparține {30°, 45°, 60°} calculați lungimea razei conului, înălțimea si volumul conului ​

Answer 1

Fie conul circular drept notat VAB, si VO inaltimea conului

VA si VB sunt generatoare

VA=VB=18√2 cm

Avem cazul 1:

u=30°, adica ∡VAB=∡VAO=30°

• Luam ΔVAO dreptunghic in O

Pentru ca ∡VAO=30°⇒ Teorema unghiului de 30° (latura opusa unghiului de 30° este egal cu jumatate din ipotenuza)

2VO=VA

2VO=18√2 cm

VO=9√2 cm (inaltimea conului)

Aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

VA²=VO²+OA²

648=162+OA²

OA²=486

OA=9√6 cm (raza conului)

$V=\frac{\pi R^2h}{3} =\frac{4374\pi \sqrt{2} }{3} =1458\pi \sqrt{2} \ cm^3$

Cazul 2:

u=45°, adica ∡VAB=∡VAO=45°

• Luam ΔVAO dreptunghic in O

Pentru ca ∡VAO=45°⇒ ∡AVO=180°-90-45=45°⇒ ΔVAO dreptunghic isoscel (are doua laturi egale)

VO=OA

Aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

VA²=VO²+OA²

648=OA²+OA²

2OA²=648

OA²=324

OA=18 cm=VO

$V=\frac{\pi R^2h}{3} =\frac{5832\pi }{3} =1944\pi \ cm^3$

Cazul 3:

u=60°, adica ∡VAB=∡VAO=60°

• Luam ΔVAO dreptunghic in O

Pentru ca ∡VAO=60°⇒ ∡AVO=180°-90-60=30°⇒ Teorema unghiului de 30°

2OA=VA

2OA=18√2

OA=9√2 cm

Aplicam Pitagora (suma catetelor la patrat este egala cu ipotenuza la patrat)

VA²=VO²+OA²

648=VO²+162

VO²=486

VO=9√6 cm

$V=\frac{\pi R^2h}{3} =\frac{1458\pi \sqrt{6} }{3} =486\pi \sqrt{6} \ cm^3$