Question

Hei! :D Cum arat ca radical 7 este numar irational? Stiu ca se face o presupunere la absurd, dar nu mai stiu ce trebuie facut in continuare.

Answer 1

prsupunem prin absurd  ca radical7 este rational
inseamna ca exista p,q prime intre ele asa fel incat √7=p/q (adica p/q sa fie fractie ireductibila)

atunci,  ridicand la patrat, ac vem
 7=p²/q²⇔p²=7q² (1)
cum p si q sunt prime intre ele inseamna ca 7|p (2)
adica p poate fi scris p=7r
 atunci relatia (1) devine;
49r²=7q² adica
7r²=q²
cum p si q erau prime intre ele, si r care este un divizor al lui p va fi prim cu q
inseamna ca 7 divide pe q
7|q
dar conform (2),  7|p
 inseamna ca p si q nu sunt prime intre ele, contradictie cu presupunerea initiala
Deci presupunerea noastra ca exista p si q este falsa
 Inseamna ca este adevarata contrara ei, ca NU exista p si q asafel incat √7=p/q
deci √7 nu poate fi scrisca fractie ordinara, deci√7este irational