Question

Hello! Exista o formula pentru S=1*2-2*3+3*4-...±n*(n+1) ? Presupun ca se face cu inductie matematica, insa nu gasesc cu ce ar trebui sa fie egala. Mersi!

Answer 1

Prin intermediul inductiei matematice, putem afla formula generala a sumei S=1·2-2·3+3·4+...+-n·(n+1) unde n∈N a.i. n >=1 .

Daca n=2 => S=1·2-2·3=2·(1-3)=2·(-2)=-4 .

Daca n=4 => S=1·2-2·3+3·4-4·5=2·(1-3)+4·(3-5)=2·(-2)+4·(-2)=6·(-2)=-12 .

Observam ca formula generala a sumei S=1·2+2·3-3·4-...+-n·(n+1) se poate scrie S=k·(k+1)·(-2) pentru orice n∈N a.i. n >=1 si de asemenea n=2k unde k∈N ,k >=1 .

Daca n=1 => S=1·2=2 .

Daca n=3 => S=1·2-2·3+3·4=2-6+12=8 .

Observam ca pe baza primei formule gasite anterior, in acest caz suma S=1·2-2·3+3·4-...+-n·(n+1) se poate scrie S=y·(y+1)+n·(n+1) pentru orice n∈N a.i. n >=1 si de asemenea n=2y+1 unde y∈N <=> S=y·(y+1)+(2y+1)·(2y+2) <=> S=y·(y+1)+2·(2y+1)·(y+1) <=> S=(y+1)·(y+4y+2) <=> S=(y+1)·(5y+2) .