Question

Help execitiul 5..
Cu conditii de existenta

Answer 1

In primul rand conditii de existenta. La logaritmi se impune conditia ca expresia din logaritm sa fie strict mai mare decat 0. La primul logaritm x²+y²>0 ∀x,y ∈ R.

Apoi pentru cei de jos, x>0 si y>0.

Acum pt rezolvare, sa trecem pe log in baza 4 din x in baza 2. Formula generala e:

$log_{a}b=\frac{log_cb}{log_ca}$

Deci

$2log_4x=2\frac{log_2x}{log_24} =2 \frac{log_2x}{2} = log_2x$

Folosind alta proprietate a logaritmilor, avem atunci:

$log_2x+log_2y=4 => log_2(xy)=4$

Daca il scriem pe 5 ca fiind logaritm in baza 2 din 2 la a 5-a si pe 4 ca logaritm in baza 2 din 2 la a 4a, avem sistemul:

$\left \{ {{log_2(x^2+y^2)=log_22^5} \atop {log_2xy=log_22^4}} \right.$

Acum logaritmul ''dispare'' si ramanem cu sistemul:

$\left \{ {{x^2+y^2=2^5} \atop {xy=2^4}} \right. \\ \left \{ {{x^2+y^2=32} \atop {xy=16}} \right.$

Si acum e un sistem clasic. Ai 2 optiuni: aia smechera si aia casual. Casual, faci prin substitutie, scoti pe x sau y din a doua ecuatie, aduci in prima, calcul, afli.

Sau, varianta smechera, poti scoate relatiile lui Viete pt o ecuatie de gradul 2, sa formezi ecuatia, si sa afli solutiile.

O sa rezolv pe a 2a optiune, pt ca o sa mai dai de sisteme de genul si cred ca o sa te ajute. Notam xy = P si x+y = S. Ca sa avem setul complet pt relatiile Viete, ne trebuie S-ul.

x²+y² = x² + y² + 2xy - 2xy = x²+2xy+y² - 2xy = (x+y)² -2xy = S² - 2P

Atunci: S² - 2P = 32 ⇒ S² = 32 + 2·16 = 64 ⇒ S=8

Formam ecuatia de gradul 2 cand stim relatiile lui Viete prin formula: x² - Sx + P = 0 ⇔ x² - 8x + 16 = 0

Care are radacina dubla, x1 = x2 = 4, deci solutia sistemului este: x = 4; y = 4

Si cam atat. Daca ai vreo neclaritate, lasa comm si o sa revin