Question

Help! Verificati daca dreapta de ecuatie y=1/4x este tangenta la graficul functiei f in punctul de abscisa x indice 0=4, situat pe graficul functiei f. f(x)=radical din x-1.

Answer 1

Ecuatia tangentei la graficulunei functii in punctul $M_{0}( x_{0}, y_{0}),este,y- y_{0}=f'( x_{0})(x- x_{0})$. Daca $x_{0}=4,rezulta, y_{0}=f( x_{0})=f(4)= \sqrt{4-1}= \sqrt{3},deci,$, $M_{0}(4; \sqrt{3}),f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x-1} },deci,f'(4)= \frac{1}{2 \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3} }{6}$. Deci ecuatia tangentei in punctul dat va fi :
$y- \sqrt{3}= \frac{ \sqrt{3} }{6}(x-4)$, care nu coincide cu y=(1/4)x. Daca functia e f(x)=$\sqrt{x}-1$, intersectam graficul cu dreapta cautand punctele de intersectie : egalam f(x)=y, adica $\sqrt{x} -1= \frac{1}{4}x,$, eliminam numitorul, trecem totul intr-un singur membru , restrangem cu formula patratului si obtinem: $( \sqrt{x}-2)^2=0$, de unde se obtine radacina dubla $\sqrt{x} =2,$, adica x=4, abscisa punctului de pe grafic unde punctele de intersectie se suprapun, deci e punct de tangenta, adica dreapa data e tangenta la grafic in punctul dat ( am aplicat ceealalta metoda)