Question

Hey, tuturor! Am mare nevoie de ajutorul vostru cu urmatoarea problema de matematica:

Fie vectorii v1 = (1, 3), v2 = (−2, 3), v3 = (0, 1).
a) Studiati daca sistemul de vectori S = {v1, v2, v3} este liniar independent.
b) Demonstrati ca B = {v1, v2} este o baza a spatiului vectorial R2;
c) Determinati coordonatele vectorului x = (4, 5) ın baza B

Multumesc mega-mult pentru eventualele raspunsuri!

Answer 1

a) Aceste vectori sunt vectori din spatiu $\math{R}^2$ care este bidimensional. Orice sistem de vectori cu mai multi de 2 vectori este linear dependenta.

b) Daca $v_1$ si $v_2$ ar fi linear dependenti, unul ar fi multiplu celuilalt, dar asta nu se intimpla. De aceea $B$ este o sistema linear independenta. Fiindca este de lungime $2$, ea este o baza.

c) Fie $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ satisfacand $(4,5)=\alpha(1,3)+\beta(-2,3)$. De aici vom avea sistema de ecuatii urmatoare:

$\begin{cases}\alpha-2\beta=4\\ 3\alpha+3\beta=5\end{cases}$

Daca rezolvam sistema de ecuatii, $\alpha=\frac{22}{9},\,\beta=-\frac{7}{9}$.