Question

Hristos a Inviat ! O problema interesanta de mate : Intr-un cub ABCDA'B'D'C' distanta dintre planele A'BD si B'D'C este 2√3 cm.Aflati muchia cubului . Multumesc!
Daca ati putea sa-mi dati si niste informatii (in plus) in legatura cu distanta dintre 2 plane , m-ar bucura enorm fiindca eu n-am prea lucrat probleme de acest tip si imi este tare greu sa le rezolv ... Multumesc din nou!

Answer 1

Adevarat a inviat!

Ok, ti-am spus de mai multe ori ca nu ma mai ocup cu geometria in spatiu, dar hai sa fac o exceptie...

Urmareste figura de mai jos.

(Notez lungimea laturii cubului cu "l".)

Am continuat cele doua plane ducand paralele. Punctul S este intersectia paralelei din A' la BD cu B'C'. Punctul T este intersectia paralelei din C la B'D' cu AD.

 Se constata ca patrulaterele A'D'B'S, respectiv BDTC sunt paralelograme (perechi de laturi opuse paralele).

Prin urmare B'S=A'D'=B'C', deci S este simetricul lui C' fata de B', si analog T este simetricul lui A fata de D.

SB'=BC si SB' || BC implica SB'CB - paralelogram. Analog A'D'TD este paralelogram.

Deci BDTCSA'D'B' este un paralelipiped, dar atentie: NU ESTE PARALELIPIPED DREPTUNGHIC!!! Este un paralelipiped oarecare.

m(<A'SB)=m(<D'B'C) (unghiuri cu laturi respectiv paralele), iar m(<D'B'C)=60* (triunghiul D'B'C este echilateral).

m(<A'D'B')=m(<A'SB')=45*.

$A_{A'D'B'S}=2 \cdot A_{A'B'D'}=A_{A'B'C'D'}=l^2. \\ \\ A_{A'SBD}=2 \cdot A_{A'SB}=2 \cdot \frac{A'S \cdot SB \cdot sin( \angle A'SB)}{2}=l^2 \sqrt{3}. \\ \\ Voi~calcula~volumul~paralelipipedului~BDTCSA'D'B' \\ \\ in~doua~moduri~(prima~data~considerand~ca~baza~pe~BDTC, \\ \\ a~doua~oara~considerand~ca~baza~pe~A'SBD). \\ \\ Notez~volumul~paralelipipedului~BDTCSA'D'B'~cu~V_p.$

$V_p= A_{BDTC} \cdot d(A',(BDT))=l^3. \\ \\ O~sa~notez~distanta~din~enunt~cu~x. \\ \\ V_p= A_{A'SBD} \cdot x . \\ \\ Se~obtine~l=x \sqrt{3}=6~cm.$