Question

Idei si metode de rezolvare

Answer 1

Răspuns:

6. Valorile extreme ale funcției sunt 0 (valoarea minimă) și $4e^{-2}$ (valoarea maximă locală). Suma pătratelor lor este $16e^{-4}$.

7. Este cazul $1^{\infty}$

$l=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\cos\frac{2\pi x}{x+1}-1\right)^{x^2}=e^\displaystyle{\lim_{x\to\infty}x^2\left(\cos\frac{2\pi x}{x+1}-1\right)$

Limita de la exponent este

$\displaystyle{-\lim_{x\to\infty}x^2\sin^2\frac{\pi x}{x+1}=-\lim_{x\to\infty}x^2\sin^2\left(\pi-\frac{\pi x}{x+1}\right)=-\lim_{x\to\infty}\frac{\sin^2\frac{\pi}{x+1}}{\left(\frac{\pi}{x+1}\right)^2}\cdot\frac{\pi^2}{(x+1)^2}x^2=-\pi^2$

Deci limita este $e^{-\pi^2}$

8.

$\displaystyle\int_0^1\left(e^{f(x)}+xf'(x)e^{f(x)}\right)dx=\int_0^1\left(xe^{f(x)}\right)'dx=\left.xe^{f(x)}\right|_0^1=e^{f(1)$

Explicație pas cu pas: