Question

Idei, solutii la aceasta problema ?
Multumesc

Answer 1

Mai  intai  scrii  radicalii sub forma  exponentiala.inegalitatea  devine
(n+1)^1/(n+1)<n^1/n
Se  aduc  exponentii  la  acelai  numitor
(n+1)^n/n·(n+1)<n^(n+1)/n·(n+1)
inductie  completa
n=3    4^3/12<3^4/12      64^1/12<81^1/12   evident
Presupui  Pn  adevarata.Verifici  daca   Pn=>P(n+1)
Pn=(n+1)^n/n·(n+1)<n^(n+1)/n·(n+1) adevarat.pentru  usurarea  calculelor ridicam  aceasta  inegalitate  la  puterea (n+1)·(n+2) si  vom  scapa  de  numitorii  de  la  exponent.Se  obtine
Pn=(n+1)^n<n^(n+1)  A)
P(n+1)=(n+2)^(n+1)<(n+1)^(n+2)
 facem  substitutia  m=n+1  Se  obtine
P(m)=(m+1)^m<m^(m+1) care  este  chiar  inegalitatea  A in  care  s-a  inlocuit  m  cun.  DEci
Pn=>Pn+1  .