Imi poate explica cineva,va rog,cum se face subpunctul C) de la S3,problema 1,de la bac-mate-M2 de anul acesta?
Am rezolvat pana am ajuns la ln (x+1)<=x , conform baremului dar nu inteleg ultima parte:
" cos x > -1 , pentru orice x(0,pi ) , deci CONCLUZIA : ln(1+ cos x)< = cos x , pentru orice x (0,pi ) "
De ce cos x>-1? Si cum contribuie aceasta informatie la concluzie?
Multumesc !!
Răspunsuri la întrebare
Explicație pas cu pas:
Eu zic ca este o solutie mai usoara decat cea propusa in barem.
Construim functia: g:(0,pi)->IR, g(x)=ln(1+cosx)-cosx
De ce am luat asa? Pai noua ni se spune ca x este din (0,pi), deci automat domeniul de definitie al functiei este (0,pi). Codomeniul este o restrictie a lui IR, dar nu ne intereseaza asa tare si il luam IR. Forma functiei g(x) am ales-o trecand in membrul stang al inegalitatii termenul cosx.
Facem derivata functiei g.
g'(x)=-sinx/(1+cosx)+sinx=Aducem la acelasi numitor=(-sinx+sinx+sinxcosx)/(1+cosx)=sinxcosx/(1+cosx)
Rezolvam ecuatia g'(x)=0 pentru a depista eventualele punctele de extrem.
g'(x)=0
O fractie e 0 cand numaratorul este 0.
sinxcosx=0
Inmultim ecuatia cu 2:
2sinxcosx=0
Si am regasit formula pentru sin2x.
sin2x=0
2x∈{0,pi}
x∈{0,pi/2}
Dar cum x este din (0,pi), singura valoare pentru x pe care o putem alege pi/2.
x=pi/2
Facem tabel de semn:
x |0__________pi/2__________pi
g'|+++++++++++++0------------------------
g| crescatoare g(pi/2) descrescatoare
g(pi/2)=ln(1+cospi/2)-cos(pi/2)=ln(1+0)-0=ln1=0
Punctul (pi/2,0) este punct de maxim, deci:
g(x)≤g(pi/2)
ln(1+cosx)-cosx≤0
ln(1+cosx)≤cosx
Ceea ce s-a facut pe barem a fost acelasi lucru, pana la o idee.
La fel, determinam punctul de extrem.
f'(x)=-2x/(x+1)
Rezolvam ecuatia f'(x)=0.
O fractie e 0 cand numaratorul este 0.
-2x=0
x=0
Facem tabel de semn:
x |-1___________0____________inf
f' |++++++++++++++0--------------------------
f | crescatoare f(0) descrescatoare
f(0)=1
Punctul (0,1) este punct de maxim, deci:
f(x)<=f(0)
1-2x+2ln(1+x)<=1
Reducem 1:
-2x+2ln(1+x)<=0
2ln(1+x)<=2x
Impartim prin doi:
ln(1+x)<=x, pentru orice x>-1
Intervalul (0,pi) este o restrictie a intervalului (-1;inf), deci este inclus in acesta.
Cum x este din (0,pi) si cos descreste pe (0,pi), avem:
cosx<cos0, adica cosx<1
cosx>cospi. adica cosx>-1
Noi stim ca relatia ln(1+x)<=x este valabila pentru x>-1.
Relatia pe care exercitiul o cere este ln(1+cosx)<=cosx, deci practic este inlocuit x cu cosx. Ca relatia sa fie valabila, intr-adevar, trebuie sa avem cosx>-1. Dar tocmai asta am aratat mai sus.
Asadar, ln(1+cosx)<=cosx, pentru orice x din (0,pi).
ln(1+cosx)≤cosx , ∀x∈(0;π)
ln(1+cosx)≤cosx <=>ln(1+cosx)-cosx≤0,∀x∈(0;π)
h(x)=ln(1+cosx)-cosx ; Dmax=(0;π)
h derivabila si continua pe Dmax , (operatii cu functii elementare)
h'(x)=(ln(1+cosx)-cosx)'=(ln(1+cosx)'-cosx'=sinx-sinx/(cosx+1)=cosx*sinx/(cosx+1)
h'(x)=0=>cosx*sinx/(cosx+1)=0=>cosx*sinx=0=>cosx=0 sau sinx=0
cosx=0=>x=arccos0=π/2∈(0;π)
sinx=0=>x=arcsin0=0∉(0;π)
x=π/2->punct de extrem
h'(π/2)=cos(π/2)*sin(π/2)/(cos(π/2)+1)=0*1/(0+1)=0
h(π/2)=ln(1+cos(π/2))-cos(π/2)=ln(1+0)-0=0
h'(π/4)=cos(π/4)*sin(π/4)/(cos(π/4)+1)=0,5/1,7>0
h'(2π/3)=cos(2π/3)*sin(2π/3)/(cos(2π/3)+1)=-0,433/(-0,5+1)<0
Din tabel=>h(x)≤h(0)=>h(x)≤0=>ln(1+cosx)-cosx≤0 ,∀x∈(0;π)=>ln(1+cosx)≤cosx,∀x∈(0;π)
