Imi puteti de definitii ale liniilor importante in triunghi si cum se fac
Răspunsuri la întrebare
1.bisectoarele unghiurilor într-un triunghi
bisectoarea unui unghi este o semidreapta situata în interiorul unghiului cu originea în vârful unghiului și care formează cu laturile acestuia doua unghiurilor congruente.
2Proprietatea punctelor situate pe bisectoarea unui unghi
Orice punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.
Are loc și reciproca acestei proprietăți:
Dacă un punct este egal depărtat de laturile unui unghi, atunci el este situat pe bisectoarea unghiului.
Dar ce înseamnă că un punct este egal depărtat de laturile unghiului? Înseamnă că distanțele de la acel punct la laturile unghiului sunt egale, prin distanță înțelegând perpendiculara din punctul respectiv pe laturile unghiului. În figura de mai jos, OS este bisectoarea unghiului AOB, iar M este un punct oarecare, situat pe această bisectoare. Ducem din M două perpendiculare: MN⊥OA și MP⊥OB. Prin urmare, d(M,OA)=MN și d(M,OB)=MP. Atunci, conform proprietății de mai sus, avem că MN=MP.
Dacă OS este bisectoarea ∡AOB, M∈OS, MN⊥OA și MP⊥OB ⟹ MN=MP.
OS este bisectoarea unghiului AOB
Concurența bisectoarelor unui triunghi
Într-un triunghi putem construi trei bisectoare (pentru că un triunghi are trei unghiuri). Aceste bisectoare sunt concurente (se intersectează) într-un punct numit centrul cercului înscris în triunghi și care se notează de obicei cu I. Punctul I este egal depărtat de laturile triunghiului.
AM, BN și CP sunt bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC
Concurenta bisectoarelor unui triunghi. Centrul cercului inscris
2. Mediatoarele laturilor unui triunghi
Mediatoarea unui segment este perpendiculara ridicată din mijlocul segmentului.
În figura de mai jos, M este mijlocul segmentului AB, DM⊥AB, prin urmare DM este mediatoarea segmentului AB. (Vezi și lecția Mediatoarea unui segment.)
Proprietatea punctelor situate pe mediatoarea unui segment
Orice punct situat pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele segmentului.
Este valabilă și reciproca acestei proprietăți:
Dacă un punct este egal depărtat de capetele unui segment, atunci el aparține mediatoarei segmentului.
În figura de mai jos, dreapta d este mediatoarea segmentului AB, iar P este un punct oarecare situat pe aceasta. Atunci distanța de la punctul P la A este egală cu distanța de la P la B: d(P,A)=d(P,B).
d– mediatoarea segmentului AB, P∈d ⟹ PA=PB.
Mediatoarea unui segment
Concurența mediatoarelor laturilor unui triunghi
Într-un triunghi putem construi trei mediatoare, pentru că sunt trei laturi. Cele trei mediatoare sunt concurente (se intersectează) într-un punct numit centrul cercului circumscris triunghiului și se notează de obicei cu O. Cercul circumscris unui triunghi este cercul care trece prin vârfurile triunghiului. Punctul O este egal depărtat de vârfurile triunghiului, prin urmare raza cercului este R=OA=OB=OC.
OM, ON și OP sunt mediatoarele laturilor triunghiului ABC
Concurenta mediatoarelor unui triunghi. Centrul cercului circumscris
Dacă triunghiul ABC este dreptunghic, atunci centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei, iar dacă triunghiul este obtuzunghic, centrul cercului circumscris este situat în exteriorul triunghiului.
3. Înălțimile unui triunghi
Înălțimea unui triunghi este perpendiculara dusă dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă.
AM⊥BC ⟹ AM înălțime
Mai putem spune că AM este înălțimea corespunzătoare laturii BC, iar latura BC se numește bază. Noțiunea de înălțime a unui triunghi este foarte importantă în geometria plană, deoarece cu ajutorul ei vom defini aria triunghiului.
Concurența înălțimilor unui triunghi
Într-un triunghi putem construi trei înălțimi. Acestea sunt concurente (se intersectează) într-un punct numit ortocentrul triunghiului și se notează de obicei cu H.
AM, BN și CP sunt înălțimi în triunghiul ABC
Concurenta inaltimilor unui triunghi. Ortocentrul triunghiului
În cazul în care triunghiul este dreptunghic, atunci două dintre înălțimi vor coincide cu catetele, iar în cazul acesta, ortocentrul va fi vârful drept al triunghiului.
Dacă triunghiul este obtuzunghic, atunci ortocentrul va fi situat în exteriorul triunghiului.
4. Medianele unui triunghi
Mediana este segmentul care unește un vârf al unui triunghi cu mijlocul laturii opuse.
M- mijlocul segmentului BC ⟹ AM- mediană în triunghiul ABC
Mediana în triunghi
Mediana unui triunghi are o proprietate importantă:
Orice mediană împarte triunghiul în două triunghiuri cu ariile egale: AABM=AAMC. Aceste triunghiuri se numesc triunghiuri echivalente.
Concurența medianelor unui triunghi
Într-un triunghi putem construi trei mediane. Acestea sunt concurente într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului și care se notează cu G. Acest punct este situat pe fiecare mediană, la două treimi de vârf și o treime de bază.
AM, BN și CP sunt mediane în triunghiul ABC
Concurenta medianelor unui triunghi. Centrul de greutate