Question

Imi puteti explica va rog cum se rezolva urmatoarele exercitii? (nu am apucat sa facem in clasa si nu stiu cum ar trebui sa le fac .. )
1. Puncte de extrem:
f(x) = $\frac{ x^{2} }{ x^{2} + 1}$
2. Semnul functiei:
a) f(x) = 1 - 3x
b) f(x) = $-x^{2} + 3x$
c) f(x) = $\frac{x - 1}{x + 3}$

Answer 1

Punctele de extrem  se  afla  calculand prima  derivata  si rezolvand ecuatia 
f(x)=0. SE verifica  apoi   daca   derivata  isi  scimba  semnul   de-o   parte   si  de  alta   a   radacinii  x `.
f `(x)=[2x(x²+1)-x²*2x]/(x²+1)=2x/(x²+1)
f `(x)=0 =>  x`=0
Numitorul  e   strict pozitiv  => daca x<0  f `(x)<0 si  daca   x>0  f`(x)>0 => x=0   punct  de extrem f(0)=0²/(0+1)=0
2a> Semnul  functiei  de  grd   1.
f(x)=0  1-3x=0  x=1/3.  PT  x≤1/3  f(x)>0  pt  x>1/3 f(x)<0

b) functie de grd2   a=-1<0 f(x)=0   -x*(x-3)=0   x1=0   x2=3.
Conf regululii  semnului   pt   functia  de   grd2 cu   a<0, intre radacini x∈[0 ,3]  f(x)  ≥0 si  in  afara  radacinilor  x∈(-∞ 0)U(3,∞)  f(x)<0 adica  negativa

c)  x-1==0 =>  x=1
x-3≠0  x≠3
Tabelul semnelor

x   l-∞.....................-3........0.....1.......................+∞
________________________________________
x-1 l    -      -     -       l-     -  -  -0+   +    +   +   + +
_____________________________________________
x+3 l-   -   -    -    -  -l+   +    +     +    +      +     +  +
______________________________________________
f(x) l +    +     +  +  +l ------------0++++++++++++++++
funcia  e   pozitiva  pe  (-∞    -3)U(1 ,  ∞)  si  negativa pt  x∈(-3,  1]