Question

Îmi trebuie DOAR subounctul C), că nu știu​ cum să calculez limitele laterale în 0 și derivata că apare un modul

Answer 1

f(0)=0

$\lim_{x \to -0} f(x)=\lim_{x \to -0}|x|e^{x-2}$
Cand x se apropie foarte mult de 0, si este negativ, modulul lui x se apropie foarte mult de 0, dar este pozitiv, iar $e^{x-2}$, atunci cand x se apropie de 0, se va apropia de $e^{-2}=\frac{1}{e^2}$. Nu reprezinta nicio problema sa inmultim 0 cu $\frac{1}{e^2}$, deci putem calcula aceasta limita, care este 0.

La fel se intampla si pentru limita la dreapta, atunci cand x tinde la 0, dar fiind pozitiv. Vom ajunge tot la inmultirea lui 0 cu $\frac{1}{e^2}$, deci si aceasta limita va fi 0.
Limita la stanga fiind egala cu cea la dreapta, si amandoua egale cu f(0), inseamna ca f este continua in 0. Deci f este continua pe R.
Ceea ce inseamna ca f este derivabila pe R.

Derivata functiei modul este
$(|x|)'=\frac{x}{|x|}$
Atunci
$f'(x)=(|x|)'e^{x-2}+|x|(e^{x-2})'=\frac{xe^{x-2}}{|x|}+|x|e^{x-2}$