Question

Împărțind, pe rând, numărul natural n la 12 și la 18 , se obțin resturile 7 , respectiv 13 .
a) Numărul natural n poate fi egal cu 103? Justifică răspunsul dat.
b) Arată că cel mai mic număr natural n cu această proprietate este 31 .

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

(a)

n = 103

103 : 12 = 8, rest 7

96

= 7

Verificare:

103 = 12 × 8 + 7

103 = 96 + 7

103 = 103 ✔✔ (adevarat)

103 : 18 = 5, rest 13

90

 13

Verificare:

103 = 18 × 5 + 13

103 = 90 + 13

103 = 103 ✔✔ (adevarat)

(b)

Din teorema împărțirii cu rest avem:

n : 12 = c₁, rest 7 ⇒ n = 12c₁ + 7   |+5 (adunăm cu 5 toată relația) ⇒  

n : 18 = c₂, rest 13 ⇒ n = 18c₂ + 13 |+5 (adunăm cu 5 toată relația) ⇒  

n + 5 = 12c₁ + 12 ⇒ n + 5 = 12(c₁ + 1) ⇒ (n + 5) ⋮ 12 ⇒

n + 5 = 18c₂ + 18 ⇒ n + 5 = 18(c₂ + 1) ⇒ (n + 5) ⋮ 18 ⇒  

(n + 5) ⋮ cmmmc [12, 18] ⇒ (n + 5) ⋮ 36  

12 = 2² · 3¹  

18 = 2¹ · 3² ⇒ [12, 18] = 2² · 3² ⇒ [12, 18] = 36

n + 5 = 36  

n = 36 - 5

n = 31 cel mai mic număr natural care respectă condițiile problemei 

#copaceibranly

Answer 2

$\it n:12=a\ rest\ 7 \Rightarrow n=12a+7|_{+5} \Rightarrow n+5=12a+12 \Rightarrow n+5\in M_{12}\\ \\ n:18=b\ rest\ 13 \Rightarrow n=18b+13|_{+5} \Rightarrow n+5=18b+18\Rightarrow n+5\in M_{18}\\ \\ \left.\begin{aligned} \it n+5\in\ M_{12}\cap M_{18}\\ \\ \it \ [12,\ 18 ]=36 \end{aligned}\right\} \Rightarrow n+5=36k \Rightarrow n=36k-5\ \ \ \ \ \ (*)$

$\it a)\ \ 103=108-5=36\cdot3-5 \Rightarrow n=103\ verific\breve a\ enun\c{\it t}ul\\ \\ b)\ \ Pentru\ k=1 \Rightarrow n=36\cdot1-5=31$