Question

in Δ ABC , D∈(BC) , E si F sunt mijloacele laturilor AB , respectiv AC , M este simetricul lui D fata de E , iar P este simetricul lui D fata de F. Aratati ca :                                                                                                                                                                                                  a) punctele P, A , M sunt coliniare ;                                                                                         b) MP=BC                                                                                                                            c) daca DC = 2DB , atunci PM =3AM.                                  si desenul...

Answer 1

faci desenul, construiesti simetricul lui D fata de AB, prelungind dreapta DE
 cu un segment egal cu ED
ED=EM
la fel faci si cu celalalt simetric
rezulta DF=FP
in patrulaterul AMBD diagonalele MDsi AB se injumatatesc , pentru ca ED=EM si AE=EB(din faptul ca e\E este la mijlocul lui AB)
rezulta ca AMBD este paralelogram (asa spune teoria)(patrulaterul in care diagonalele se injumatatesc este paralelogram)
daca este paarlelogram rezuta ca BD=si paralel cu AM
ne mutam in patrulaterul APCD si rationam la fel
rezulta AP=si paralele cu DC
deci, AMparalel cu BC......AP paralele cu BC
rezulta P,A,M coliniare
b)din pct.a rezulta BD=AM
                                CD+AP
adunam relatiile membru cu membru si rezulta BD+CD=AM+AP.....BC=MP
c)DC=2DB
BC=BD+DC
BC=BD+2DB
BC=3DB
dar, mai sus am aratat ca BC=PM si DB=AM
rezulta PM=3AM