Question

În ΔABC se duc medianele AA prim și BB prim, A prim∈(BC), B prim∈(AC). Se știe că AA prim=15 cm, BB prim= 12cm și BC=10 cm. Să se afle perimetrul și înălțimea din A a triunghiului ABC.

Answer 1

Notam cu G punctul de intersectia al medianelor.Acesta are propietatea ca se afla pe fiecare mediana la 1/3 de laturi si 2/3 de varfuri
avem:GA"=1/3*AA'=15/3=5cm
           BG=2/3*BB'=12*2/3=8cm
mai avem ca BA'=BC/2=5cm
Concluzie: triunghiul BGA' este isoscel. Ducem in el inaltimea A'M cu Mapartine luiBG. Aceasta va fi si mediana, adica BM=MG=4cm
-in triunghiul dreptunghic BMA' aplic Pitagor si obtin ca    A'M=3cm
-duc in acest triunghi si inaltimea GN si scriem arie sa sub 2 forme
ABGA'=GN*BA'/2=A'M*BG/2
de unde GN=A'M*BG/BA'=3*8/5=24/5cm
-aplic Thales in triunghiul AA'D unde AD II GN
A'G/AA'=GN/AD
AD=GN*AA'/A'G=24/5*15/5=3*24/5=72/5cm

aplic Pitagora in ADA'
A'D^2=AA'^2-AD^2=15^2-72*72/5*5=(15-72/5)(15+72/5)=3/5*87/5=261/25
A'D=rad261 / 5
Aplic Pitagora de 2 ori in ADB si respectiv ADC unde cunoastem ca BD=5-rad261/ 5=, iar DC=5+rad261/ 5
obtin astfel pe AB si respectiv AC si la urma perimetrul P=AC+AB+BC