Question

in cate zerouri se termina numarul 1.....75

Answer 1

Notam A=1*2*3*...*75
Stim faptul ca numarul de zerouri se obtin din multiplii naturali ai lui 10 sau din produsul dintre 5 un numar par (care are ultima cifra 2;4;6 sau 8).
Folosim formula pentru aflarea numarului de zerouri si obtinem
E(A!)=[A/5]+[A/25]+...+[A/5 la n) unde n este cel mai mare exponent al lui 5 astfel incat 5ⁿ<A .
Asadar avem E(A!)=[75/5]+[75/25]=15+3=18 ⇒numarul A=1·2·3·....·75 se termina in 18 zerouri.

Answer 2

Notam cu P=1×2×3×4×.......×75
In cate zerouri se termina numarul rezultat in urma acestor inmultiri ?
Raspuns:
De cate ori regasim cifra 5 in descompunerea factorilor produsului P in factori primi !
  5=      5¹
10=2 × 5¹
15=3 × 5¹
20=2²× 5¹
25=      5²
30=2×3×5¹
35=  5¹×7
40=  2³×5¹
45=  3²×5¹
50=  2× 5²
55=  5¹×11
60= 2²×3×5¹
65=    5¹×13
70= 2×5¹×7
75= 3×5²
========
P=1×2×3×....×75=....(5¹)¹²·(5²)³.....=......5¹².5⁶....=.......5¹⁸.........
Exponentul lui 5 , adica 18 reprezinta numarul de zerouri in care se termina numarul P !