Question

In cate zerouri se termina produsul primelor 40 de numere naturale nenule?

Answer 1

$40:5=8 \\ 40:25=1~rest~15 \\ \\ Produsul~se~termina~in~8+1=9~zerouri. \\ \\ Produsul~1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n~ se ~termina~in~ \big[ \frac{n}{5} \big]+ \big [ \frac{n}{5^2} \big ] +\big [ \frac{n}{5^3} \big ] +...~zerouri. \\ \\ ( [x]-partea~intreaga~a~lui~x).$

Answer 2

Vom analiza multiplii lui 5 in primele 40 de numere naturale.
Vom incerca sa facem perechi de multiplii de 5 cu multiplii de 2 pentru a obtine multiplii de 10 care vor da cate un "zero". Caz special pentru puterile lui 5, in cazul nostru vom avea doar pe 25, care va da "doua zerouri" cand il inmultim cu un multiplu de 4.
Asadar:
Multiplii lui 5:
5 - un "zero"
10 - un "zero"
15 - un "zero"
20 - un "zero"
25 - doua "zerouri"
30 - un "zero"
35 - un "zero"
40 - un "zero"

Total 9 "zerouri"

Sau daca vrei sa scrii elegant, scrii
$[log_{10}40!]=9$