Question

in ce interval se afla solutia strict pozitiva a ecuatiei
$(x^2+9)^{\frac{1}{log x (x^2+9)} } = \sqrt[3]{ (-x^2+6x)}$
problema din culegere UPT 2020 , AL 92
a)(2,3]
b) (0,1) U (1, $\frac{3}{2}$]
c) (1,6)
d) (-1 ,0)
e) [-1,1]
f) (1,2)
Daca se poate pas cu pas

Answer 1

Salut,

Ar fi de pus condițiile pentru logaritm (baza să fie pozitivă și să nu fie egală cu 1, iar argumentul să fie mai mare strict ca 0), dar la admitere nu vei avea timp de așa ceva.

La radicalul de ordinul 3, nu avem nicio condiție de pus (am fi avut, dacă ar fi fost radical de ordin par).

Puterea lui x² + 9 din membrul stâng mai poate fi scrisă ca $log_{(x^2+9)}x.$.

Vei obține asta, dacă aplici formula de schimbare a bazei logaritmului din x în x² + 9.

Dacă notăm cu A ce am obținut (adică tot membrul stâng), avem că:

$A=(x^2+9)^{log_{(x^2+9)}x.$

Dacă logaritmăm în baza x² + 9, obținem că:

$log_{(x^2+9)}A=log_{(x^2+9)}\left[(x^2+9)^{log_{(x^2+9)}x}\right]\Rightarrow\\\\\Rightarrow log_{(x^2+9)}A=log_{(x^2+9)}x\cdot\underbrace{log_{(x^2+9)}(x^2+9)}_{=1}=log_{(x^2+9)}x.$

Din cele de mai sus, avem deci că A = x. Ecuația devine:

$x=\sqrt[3]{6x-x^2}\ |\ (\ )^3\Rightarrow x^3=6x-x^2,\ sau\ x\cdot(x^2+x-6)=0.$

x nu poate fi 0, iar soluțiile ecuației din paranteză sunt --3 și 2.

Soluția strict pozitivă este deci +2, care se află în intervalul (1, 6).

Răspunsul corect este deci c.

Ai înțeles rezolvarea ?

Green eyes.