Question

in clasa a VI-A sunt 11 baieti si 14 fete. Diriginta clasei dorește sa aleagă 2 elevi care sa reprezinte clasa in consiliul elevilor. Care este probabilitatea ca alegând la întâmplare 2 elevi , aceștia sa die fete?

Answer 1

► Raspuns :

Probabilitatea ca alegând la întâmplare 2 elevi , aceștia sa fie fete este $\frac{91}{300}$ = 30,(3)%

► Amintim :

[1] - Probabilitatea ca un eveniment sa aiba loc este egal cu raportul dintre numarul de cazuri favorabile si numarul de cazuri posibile.

[2] Notam probabilitatea ca un eveniment A sa aiba loc cu P(A).

[3] Probabilitatea ca doua evenimente A si B sa aiba loc este P(A si B) = P(A) * P(B|A), daca evenimentul B depinde de evenimentul A. Prin P(B|A) intelegem probabilitatea ca evenimentul B sa aiba loc dupa ce evenimentul A a avut loc.

► METODA I :

In cazul nostru P(A) este probabilitatea ca la alegerea unui elev acesta sa fie fata. P(B) este probabilitatea ca la alegerea unui alt elev acesta sa fie fata, dupa ce am ales deja prima fata.

Pentru eveniment A :

• Cazuri favorabile = numarul de fete = 14

• Cazuri posibile = numarul total de elevi = 11+14=25

Deci, conform formulei [1] : P(A) = 14/25

Pentru eveniment B:

• Cazuri favorabile = numarul de fete - 1 (adica fara fata pe care am ales-o la punctul anterior) = 14-1=13

• Cazuri posibile = numarul de elevi -1 (adica fara fata pe care am ales-o la punctul anterior) = 25-1=24

Deci, conform formulei [1] : P(B|A) = 13/24

Calculam acum probabilitatea P(A si B) folosind formula [3] :

P(A si B) = P(A) * P(B|A) = $\frac{14}{25} * \frac{13}{24} = \frac{13*14}{24*25} = \frac{7*13}{12*25} = \frac{91}{300} = 30.(3) \%$

► METODA II :

Vom folosi prima formula transformand problema in acest mod :

Probabilitatea ca alegând la întâmplare 2 elevi , aceștia sa fie fete este egala cu probabilitatea ca alegand un element din multimea de multimi de doua elemente (unde elementele sunt elevii clasei), cele doua elemente sa fie fete.

Matematic, vom calcula probabilitatea ca alegand un element din M, acesta sa in A, unde

$M = A \cup B \cup C\\\\A = \{\{x,y\}\} , x,y \in M_{fete}\\B = \{\{x,y\}\} , x,y \in M_{baieti}\\C = \{\{x,y\}\} , x\in M_{fete}, y \in M_{baieti}$

I. Cate "perechi" unice de doua fete avem ?

Raspuns : 14*13/2 = 91 (numarul de muchii dintr-un graf complet cu 14 noduri )

Putem gandi ca prima fata o putem imperechea cu alte 13 fete, pe a doua cu 12 fete, pe a treia cu 11 fete.... pe penultima fata cu o singura fata. Cu ultima fata nu putem crea noi conexiuni, aceasta fiind deja intr-o "pereche" cu toate celelalte fete. Ajungem astfel la 13+12+11+....+1, recunoastem formula ca o suma Gauss => 13*12/2

II. Cate "perechi" unice de doi baieti avem ?

Raspuns : 11*10/2=55 (rationamentul este identic cu cel de mai sus)

III. Cate "perechi" unice de o fata si un baiat avem ?

Raspuns : 11*14=154 (numarul de muchii intr-un graf bipartit complet cu 11 si 14 noduri in fiecare multime disjuncta )

Sau putem calcula astfel : primul baiat poate fi imperecheat cu 14 fete, al doilea tot cu 14, al treilea tot cu 14..... al 11-lea tot cu 14 fete.

Nu conteaza ordinea, deci "perechile" de un baiat si o fata sunt identice cu perechile de o fata si un baiat.

Numar cazuri posibile :

In total avem deci 91+55+154= 300 de multimi de doua elemente in multimea de unde alegem un element (numarul de cazuri posibile)

Numar cazuri favorabile :

Numar de cazuri favorabile = numarul de multimi de doua elemente unde ambele elemente sunt fete = 91

Probabilitatea este astfel numarul de cazuri favorabile supra numarul de cazuri posibile, deci 91/300.