Question

In cubul ABCDA'B'C'D  punctele M si N sunt mijloacele muchiilor AD respectiv D'C. Se stie ca MN=3√6m.
a) Ce fel de triunghi este MD'N? Justifica raspunsul.
b) Calculati distanta de la varful A' la planul (BDD')
c) Calculati distanta de la varful D' la dreapta A'C.
 
Vreau si desenul. Multumesc!

Answer 1

notam cu a latura cubului
AM=MD=a/2              (   / inseamna impartit)
D'N=a/2
DD'=a
MD'=√(D'D²+MD²)=√[a²+(a/2)²]=√(a²+a²/4)=√(5a²/4)=(a√5)/2
MN=√[5a²/4+(a/2)²]=√(5a²+a²)/4=√(6a²/4)=√(3a²/2)=a√(3/2)=(a√6)/2
MN=3√6 = (a√6)/2     2·3√6=a√6
a=6

a) Ce fel de triunghi este MD'N? 
triunghiul MD'N este dreptunghic pentru ca MD' si D'N apartin planurilor  respectiv D'C'CD care sunt perpendiculare si orice dreapta care apartine unui plan este perpendiculara ce orice dreapta apartinand celuilalt plan.
b) Calculati distanta de la varful A' la planul (BDD')
distanta de la A' la planul(BDD') este jumatate din din diagonala A'C'
A'C'=√(6²+6²)=√72=6√2
A'C'/2=6√2 : 2=3√2
c) Calculati distanta de la varful D' la dreapta A'C.
triunghiul D'A'C dreptunghic deoarece A'D' si D'C' apartin unor planuri perpendiculare intre ele respectiv A'D'DA si D'C'CD un de aplica o teorema a inaltimii si anume produsul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei cu ipotenuza este egal cu produsul catetelor 
notam D'H  inaltimea din D' la A'C
D'H x A'C= D'A' x D'C'
A'C =√(AC²+A'A²)=√(AB²+BC²+A'A²)=√(6²+6²+6²)=6√3
D'H x 6√3= 6 x 6 = 36
D'H=36 /6√3=6/√3=6√3/ (√3 ·√3)=2√3