Question

In cubul ABCDA'B'C'D' se noteaza cu O1 centrul fetei ABCD, cu O2 centrul fetei A'B'C'D' si cu O3 centrul fetei ADD'A'. Stabiliti pozitia planului ( O1 O2 O3) fata de planul (ABB'). Stiind ca AB=12 cm, calculati raportul dintre aria triunghiului O1 O2 O3 si aria lui ABB'A'.
(REZOLVARE CU DESEN VĂ ROG!)

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$O_{1}M \perp AD, M \in AD \implies O_{1}M \to apotema$

$O_{2}N \perp A'D', N \in A'D' \implies O_{2}N \to apotema$

$AM ≡ A'N \implies O_{3} \in MN \\ \implies (O_{1}O_{2}NM) \perp (ADD'A')$

$(ABB'A') \perp (ADD'A') \implies (O_{1}O_{2}NM) \ || \ (ABB'A')$

$\iff (O_{1}O_{2}O_{3}) \ || \ (ABB')$

$O_{1}M = O_{3}M = O_{3}N = O_{2}N = \dfrac{AB}{2} = 6 \ cm$

$O_{1}O_{3} = O_{2}O_{3} = 6 \sqrt{2} \ cm$

$O_{1}O_{3} \perp O_{2}O_{3} \implies$

$\mathcal{A}_{ \triangle O_{1}O_{2}O_{3}} = \dfrac{O_{1}O_{3} \cdot O_{2}O_{3}}{2} = 36 \ cm^{2}$

$\mathcal{A}_{ABB'A'} = AB^{2} = 12^{2} = 144 \ cm^{2}$

$\dfrac {\mathcal{A}_{ \triangle O_{1}O_{2}O_{3}}}{\mathcal{A}_{ABB'A'}} = \dfrac{36}{144} = \dfrac{1}{4}$