Question

In cubul abcda'b'c'd' se stie d( a' ; bd ) = 4 radical din 6 . Aflati lungimea muchiei cubului , aria triunghiului a'bd , d ( a ; ( a'bd )

Answer 1

Fie M∈BD a.i. AM⊥BD, deci d(A';BD) = AM = 4√6 cm. Deoarece ΔA'BD este echilateral, rezulta ca BM≡MD. Rezulta ca A'M, fiind inaltime in ΔA'BD echilateral, este egala cu l√3 ÷ 2, adica 4√6 = l√3 ÷ 2, de unde l = muchia cubului = 4√6 * 2 ÷ √3 = 8√6 ÷ √3 = 8√2 cm. 

Aria Δ-ului echilateral A'BD = l^2 * √3 ÷ 4 = (8√2)^2 * √3 ÷ 4 = 64*2*√3 ÷ 4 = 32√3 cm.^2

In ΔA'AM dreptunghic in A, stim ca AA'=8√2 cm. si AM = AC÷2 = l√2÷2 = 8√2√2 ÷ 2 = 8 cm. Prin urmare, aflam A'M cu teorema lui Pitagora:
A'M^2 = AA'^2 + AM^2 = (8√2)^2 + 8^2 = 128+64 = 192, rezulta A'M = √192 = 8√3 cm.
Stim ca aria ΔA'AM = cateta 1 * cateta 2 ÷ 2 = A'A*AM÷2 = 8√2 * 8 ÷ 2 = 32√2 cm.^2
Fie AN inaltime in ΔA'AM, unde N∈A'M, deci d(A'; (A'BD)) = AN. Aria ΔA'AM = baza * inaltimea ÷ 2, adica:
32√2 = AN * 8√3 ÷ 2, de unde AN = 32√2 * 2 ÷ 8√3 = 8√6 / 3 cm.