Question

In dreptunghiul ABCD, punctele P, Q, R sunt mijloacele laturilor (AB), (PC), respectiv (PD). Demonstrati ca patrulaterul ABQR este trapez isoscel. ^_^

Answer 1

In primul rand trebuie sa demonstram ca patrulaterul ABQR este trapez. Pentru asta luam triunghiul PDC, in care R este jumatatea laturii PD si Q este jumatatea lui PC. Deci RQ este linie mijlocie in triunghiul PDC, de unde avem, datorita teoremei liniei mijlocii in triunghi, ca RQ este paralela cu DC (linia mijlocie este paralela cu latura pe care nu o intersecteaza si egala cu jumatate din aceasta.. asta e teorema..).. dar DC este paralela cu AB (intrucat ABCD este dreptunghi, din ipoteza), deci rezulta ca AB este paralela cu RQ, deci ABQR este trapez. In continuare trebuie sa demonstram ca este trapez isoscel. Pentru asta putem lua triunghiurile DAP si PBC, care au AP = PB (ipoteza), AD = BC (fiindca laturile opuse in triunghi sunt congruente). Rezulta deci, potrivit cazului cateta-cateta, ca ADP congruent cu PBC, de unde avem ca unghiul DPA este congruent cu unghiul CPB. In continuare luam triunghiurile ARP si PQB (care au AP = PB, unghiul DPA congruent cu unghiul CPB, din demonstratie, si RP congruent cu PQ, fiind jumatati de segmente congruente.. am demonstrat anterior ca acele segmente sunt congruente). Deci potrivit cazului ULU, triunghiurile ARP si PQB sunt congruente, adica AR congruent cu QB. Inseamna ca ABQR este trapez isoscel. Sper doar sa te fi ajutat..