Question

In dreptunghiul ABCD punctele P,Q si R sunt mijloacele laturilor (AB
),(PC) ,respectiv (PD).Demonstarti ca patrulaterul ABQR este trapez
isoscel.

Answer 1

Pai, in primul rand demonstrezi ca acel patrulater e trapez. 
R-mijl (DP)|
                | =>RQ-linie mijlocie in triunghiul DPC=>RQ||DC    (1)
Q-mijl (PC)|                                                      =>RQ=DC/2 (2)
                                                                   
AB||DC |
(1)        |=> RQ||AB              |
(2)        |     ABQR-patrulater |=> ABQR-trapez.(6)

Acum trebuie sa demonstram ca BQ=AR. Cum facem asta? In felul asta:

Triunghiul DPC este isoscel                                  |
notam O-mijlocul lui DC=>OP_|_ (perpendicular)AB|(din toate 3) => [OP-bisec-
                                      OP_|_DC                       |  toarea unghiului DPC => m(<DPO)=m(<CPO) (3)

m(<CPB)=m(<OPB)-m(<CPO)
              =90-m(<CPO) (4)
m(<DPA)=m(<OPA)-m(<DPO)
             = 90-m(<DPO) (5)

Din (3), (4), (5) => <CPB = <DPA.

Acum demonstram ca triungiurile ARP si BQP sunt egale:
/\ ARP   -[PR] = [PQ] (mijloace)              |  L.U.L
/\ BQP   -[AP] = [PB] (ipoteza)               |  =====> /\ARP = /\BQP                               - <CPB = <DPA(demonstratie)   |          => [AR] = [BQ] (7)

Din (6) si (7) => ca patrulaterul ABQR-trapez isoscel.

Si asta a fost :) Sper sa intelegi ce am scris :D