Question

În dreptunghiul DEFG notam O intersecția diagonalelor.Știind ca distanța de la O la DE este egala cu un sfert din GE calculați masura unghiului GOF

Answer 1

Diagonalele intr-un dreptunghi sunt egale, la fel si jumatatile acestora.
Notam piciorul perpendicularei din O pe DE cu M.
In Δdr.MOE avem MO²=(d/2)²-(L/2)² unde d-diag. si L-lungimea dreptunghi.
MO²=(d²-L²)/4 =>MO=√(d²-L²)/2 care este un sfert din diag. (ipoteza)
(√d²-L²)/2=d/4
=>2d=4√(d²-L²)
Ridicam la patrat intreaga expresie si avem
4d²=16d²-16L² 
O simplificam cu 4 si avem
d²=4d²-4L² <=>3d²=4L² => d=2L/√3 sau d=2L√3/3
sinMOE=cateta opusa/ipotenuza=L/2:d/2=L/2·2/d=L/d
sinMOE=L:2L√3/3=L·3/2L√3=√3/2 =>m(∡MOE)=60°
m(∡DOM)+m(∡MOE)=m(∡DOE)=m(∡GOF)
=>m(∡GOF)=120°