În exteriorul robului ABCD, cu unghiul A =60°, se construiesc pătratul DCEF și dreptunghiul ABNM cu latura AM =2AB. Arătați ca punctele N,F,E sunt coliniare și ca NB=2BD.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Enuntul este gresit, banuiesc ca este vorba despre patratul BCEF, nu DCEF.
Pentru usurinta demonstrarii, notam latura rombului AB = a
ABCD = romb ⇒ AB ≡ BC ≡ CD ≡ AD = a ⇒ AM = 2a
⇒ Δ ABD = isoscel ; m(∡BAD) = 60° ⇒ Δ ABD = echilateral ⇒ BD ≡ AB = a
Fie P mijlocul laturii NB
ABNM = dreptunghi ⇒ NB ≡ AM = 2a si m(∡ABN) = 90°
⇒ BP = 2a/2 = a
BCEF = patrat ⇒ BF ≡ BC = a si m(∡CBF) = 90°
⇒ BF ≡ BP = a
⇒ Δ FBP = isoscel
ABCD = romb ⇒ ∡BAD si ∡ABC sunt suplementare
m(∡BAD) = 60° ⇒ m(∡ABC) = 180° - m(∡BAD) = 180° - 60° = 120°
Avem asa: m(∡FBP) = m(∡FBN) = 360° - [m(∡ABN) + m(∡ABC) + m(∡CBF)] = 360° - (90° + 120° + 90°) = 360° - 300° = 60°
Δ FBP = isoscel; m(∡FBP) = 60° ⇒ Δ FBP = echilateral ⇒ FP ≡ PB = a
In Δ FBN, avem ca FN este mediana si FP = BN/2
Asadar, conform reciprocei teoremei medianei, ⇒ Δ FBN este dreptunghic, cu m(∡NFB) = 90°
BCEF = patrat ⇒ m(∡EFB) = 90°
⇒ m(∡EFN) = m(∡EFB) + m(∡NFB) = 90° + 90° = 180°
⇒ F, F si N sunt coliniare.
cum NB = 2a si BD = a ⇒ NB = 2BD
