Question

In exteriorul triunghiului ABC ( [AB] = [AC] ) se construiesc trunchiurile echilaterale ABF si ACE.
a) Comparati triunghiurile ABE si ACF
b) Comparati triunghiurile BCF si CBE
c) Aratati ca [BE] = [CF] (exercitiul 2, ultimul)

Answer 1

ABF echilateral, atunci toate laturile sunt egale
AB=AF=BF
si toate unghiurile sunt egale cu 60 grade
ABF=BAF=60
ACE echilateral, atunci toate laturile sunt egale
AC=AE=CE
si toate unghiurile sunt egale cu 60 grade
ACE=CAE=60 grade
Dar mai stim ca AB=AC. Din relatiile de mai sus, rezulta ca
AB=AF=DF=AC=AE=CE
Sa ne uitam la triunghiuri acum:
a) ABE si AFC. Fiecare are cate 2 laturi egale si egale cu laturile celuilalt triunghi
AB=AE=AF=AC,(1)
Sa vedem si unghiurile dintre aceste laturi fdin fiecare triunghi cu cine este egal:
BAE=BAC+CAE=BAC+60
FAC=BAF+BAC=BAC+60
Atunci rezulta ca cele doua unghiuri sunt egale
BAE=FAC
luand in considerare ca si laturile alaturate acestor unghiuri sunt egale
cum am aratat la (1) rezulta ca triunghiurile ABE si AFC sunt congruente dupa un caz LUL, ceea ce inseamna ca si ultimele laturi din fiecare triunghi sunt egale: BE=CF, si am rezolvat si punctul c)
b) ne uitam la triunghiurile BCF si CBE Observam o data ca avem egalitatea de laturi expusa ceva mai sus cand egalam toate laturile triunghiurilor echilaterale
BC=CF=CE.
BC este latura comuna
iar ultima latura ramasa din fiecare triunghi, am aratat la a) ca sunt egale: CF=BE
deci toate laturile sunt congruente. Deci BCF si CBE sunt congruente dupa regula LLL