Question

In exteriorul triunghiului echilateral ABC se construieste patratul BCDE notam cu O centrul cercului circumscris triunghiului ABC Stabiliti pozitia punctului o fata de cercul circumscris patratului Bcde

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

BO raza cercului circumscris ΔABC, regulat. Atunci BC=BO√3. Fie BC=a, atunci BO=a/√3=a√3/3.

F este centrul patratului, deci BF este raza cercului circumscris patratului BCDE, deci BC=BF√2, ⇒BF=a/√2=a√2/2.

Verificam daca FO>BF. FO=FM+MO. MO=(1/2)·AO=(1/2)·a√3/3.

FM=BM=a/2. Deci FO=a/2+(1/2)·a√3/3

$FO=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}*\frac{\sqrt{3} }{3} =\frac{a}{2}*(1+\frac{\sqrt{3} }{3}).\\ Verificam~daca~FO>FB,~\frac{a}{2}*(1+\frac{\sqrt{3} }{3})>\frac{a}{2}*\sqrt{2}~|*\frac{2}{a} ,~1+\frac{\sqrt{3} }{3} >\sqrt{2} ,~~3+\sqrt{3}>3\sqrt{2}$

Didicam la patrat, (3+√3)²>(3√2)², ⇒9+3+2·3·√3>9·2, ⇒12+6√3>18, ⇒6√3>18-12, ⇒6√3>6 |:6, √3>1 |^2, ⇒3>1 este adevarat. Deci FO>FB, deci punctul O este exterior cercului circumscris patratului BCDE.