Question

În exteriorul triunghiului isoscel ABC (AB = AC) se construiesc triunghiurile echilaterale ABD și ACE. Notăm BE intersectat cu CD={O}.
a) Să se arate BE congruent cu CD
b) Demonstrați că OA perpendicular DE​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

ΔABC este isoscel, cu AB≡AC ⇒ ∢ABC≡∢ACB

ΔABD și ΔACE sunt echilaterale ⇒ AB≡BD și AC≡CE ⇒ BD≡CE  (1)

∢ABD=60° și ∢ACE=60° ⇒ ∢ABD≡∢ACE

∢BCE = ∢ACB+∢ACE

∢CBD = ∢ABC+∢ABD

⇒ ∢BCE≡∢CBD (2)

din (1), (2) și BC latură comună ⇒ ΔBCE≡ΔCBD (cazul L.U.L.)

$\implies BE \equiv CD$

b)

din a) ⇒ ∢BDC≡∢CEB ⇒ ∢BDO≡∢CEO

∢BOD≡∢COE (opuse la vârf) și BD≡CE ⇒ ΔBOD≡ΔCOE (cazul U.L.U) ⇒ BO≡CO ⇒ O se află pe bisectoarea unghiului BAC

• orice punct interior unui unghi, egal depărtat de laturile unghiului, se află pe bisectoarea unghiului

în ΔABC isoscel AO este bisectoare ⇒ AO este înălțime ⇒ AO⊥BC

$q.e.d.$