In exteriorul triunghiului isoscel ABC de baza BC se consideră punctele D şi E astfel încât să fie îndeplinite simultan condițiile :BD|| AC ,AD_|_ BD ,CE|| AB şi AE _|_ CE.Demonstrati că :AD=AE, DE|| BC
Va rog ,dau coronița!
Răspunsuri la întrebare
Răspuns de
7
AB este secanta pentru dreptele paralele BD si AC, atunci unghiurile alterne interne vor fi egale, adica
in mod similar AC este secanta pentru dreptele paralele CE si AB, atunci unghiurile alterne interne vor fi egale, adica
Triunghiul ABD este dreptunghic cu unghiul D=90 grade atunci AD si BD sunt catete si AB este ipotenuza. Conform reguluii sinusului
Avem atunci
Triunghiul ACE este dreptunghic cu unghiul E=90 grade atunci AE si CE sunt catete si AC este ipotenuza atunci
Din ultimele 2 relatii rezulta ca
dar cum triunghiul ABC este isoscel cu baza BC atunci AB=AC, adica va reiesi ca AD=AE
b) Notam intersectia lui DE cu AB si AC cu M respectiv N
daca AD=AE atunci triunghiul ADE este trunghi isoscel, cu
Stim ca D si E sunt fiecare cate 90 de grade atunci
Din ultimele trei relatii rezulta ca
(1)
Acum sa aplicam in cele doua triunghiuri dreptunghice si regula cosinusului
In cazul celor doua triunghiuri
Din ultimele 2 relatii rezulta ca
adica BD=CE(2)
Mai stim si ca (3)
Din 1,2,3 rezulta ca triunghiurile BDM si CEN sunt congruente dupa un caz ULU(unghi latura unghi), de unde rezulta ca BM=CN
Dar in acelasi timp AB=AM+BM=AN+CN=AC adica rezulta ca AM=AN, de unde rezulta ca AMN este un triunghi isoscel
Atunci avem
si
Facem aceleasi calcul de unghiuri si in triunghiul ABC isoscel
Rezulta
adica egalitate de unghiuri alterne interne intre dreptele paralele MN si BC unite de secanta AB
Atunci MN||BC dar MN este parte a dreptei DE, deci DE||BC
in mod similar AC este secanta pentru dreptele paralele CE si AB, atunci unghiurile alterne interne vor fi egale, adica
Triunghiul ABD este dreptunghic cu unghiul D=90 grade atunci AD si BD sunt catete si AB este ipotenuza. Conform reguluii sinusului
Avem atunci
Triunghiul ACE este dreptunghic cu unghiul E=90 grade atunci AE si CE sunt catete si AC este ipotenuza atunci
Din ultimele 2 relatii rezulta ca
dar cum triunghiul ABC este isoscel cu baza BC atunci AB=AC, adica va reiesi ca AD=AE
b) Notam intersectia lui DE cu AB si AC cu M respectiv N
daca AD=AE atunci triunghiul ADE este trunghi isoscel, cu
Stim ca D si E sunt fiecare cate 90 de grade atunci
Din ultimele trei relatii rezulta ca
(1)
Acum sa aplicam in cele doua triunghiuri dreptunghice si regula cosinusului
In cazul celor doua triunghiuri
Din ultimele 2 relatii rezulta ca
adica BD=CE(2)
Mai stim si ca (3)
Din 1,2,3 rezulta ca triunghiurile BDM si CEN sunt congruente dupa un caz ULU(unghi latura unghi), de unde rezulta ca BM=CN
Dar in acelasi timp AB=AM+BM=AN+CN=AC adica rezulta ca AM=AN, de unde rezulta ca AMN este un triunghi isoscel
Atunci avem
si
Facem aceleasi calcul de unghiuri si in triunghiul ABC isoscel
Rezulta
adica egalitate de unghiuri alterne interne intre dreptele paralele MN si BC unite de secanta AB
Atunci MN||BC dar MN este parte a dreptei DE, deci DE||BC
Anexe:
crissgabby:
am o intrebare... ce inseamna angle,tex, frac..etc
Alte întrebări interesante
Limba română,
8 ani în urmă
Matematică,
8 ani în urmă
Istorie,
8 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă
Matematică,
9 ani în urmă