Question

In exteriorul triunghiului isoscel ABC de baza BC se consideră punctele D şi E astfel încât să fie îndeplinite simultan condițiile :BD|| AC ,AD_|_ BD ,CE|| AB şi AE _|_ CE.Demonstrati că :AD=AE, DE|| BC
Va rog ,dau coronița!

Answer 1

AB este secanta pentru dreptele paralele BD si AC, atunci unghiurile alterne interne vor fi egale, adica
$\angle{ABD}=\angle{BAC}$
in mod similar AC este secanta pentru dreptele paralele CE si AB, atunci unghiurile alterne interne vor fi egale, adica
$\angle{ACE}=\angle{BAC}$
Triunghiul ABD este dreptunghic cu unghiul D=90 grade atunci AD si BD sunt catete si AB este ipotenuza. Conform reguluii sinusului
$sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}$
Avem atunci
$\sin{ABD}=\sin{BAC}=\frac{AD}{AB}$
Triunghiul ACE este dreptunghic cu unghiul E=90 grade atunci AE si CE sunt catete si AC este ipotenuza atunci
$\sin{ACE}=\sin{BAC}=\frac{AE}{AC}$
Din ultimele 2 relatii rezulta ca
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$ dar cum triunghiul ABC este isoscel cu baza BC atunci AB=AC, adica va reiesi ca AD=AE
b) Notam intersectia lui DE cu AB si AC cu M respectiv N
daca AD=AE atunci triunghiul ADE este trunghi isoscel, cu
$\angle{ADE}=\angle{AED}$
Stim ca D si E sunt fiecare cate 90 de grade atunci
$\angle{BDM}=90-\angle{ADE}$
$\angle{CEN}=90-\angle{AED}$
Din ultimele trei relatii rezulta ca
$\angle{BDM}=\angle{CEN}$(1)
Acum sa aplicam in cele doua triunghiuri dreptunghice si regula cosinusului
$cos=\frac{cateta alaturata}{ipotenuza}$
In cazul celor doua triunghiuri
$\cos{ABD}=\cos{BAC}=\frac{BD}{AB}$
$\cos{ACE}=\cos{BAC}=\frac{CE}{AC}$
Din ultimele 2 relatii rezulta ca
$\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}$ adica BD=CE(2)
Mai stim si ca $\angle{ABD}=\angle{ACE}$(3)
Din 1,2,3 rezulta ca triunghiurile BDM si CEN sunt congruente dupa un caz ULU(unghi latura unghi), de unde rezulta ca BM=CN
Dar in acelasi timp AB=AM+BM=AN+CN=AC adica rezulta ca AM=AN, de unde rezulta ca AMN este un triunghi isoscel
Atunci avem
$\angle{AMN}=\angle{ANM}$
si
$\angle{AMN}+\angle{ANM}+\angle{BAC}=180\Rightarrow \angle{AMN}=\frac{180-\angle{BAC}}{2}$
Facem aceleasi calcul de unghiuri si in triunghiul ABC isoscel
$\angle{ABC}+\angle{ACB}+\angle{BAC}=180\Rightarrow \angle{ABC}=\frac{180-\angle{BAC}}{2}$
Rezulta
$\angle{AMN}=\angle{ABC}$ adica egalitate de unghiuri alterne interne intre dreptele paralele MN si BC unite de secanta AB
Atunci MN||BC dar MN este parte a dreptei DE, deci DE||BC