Question

In figura 1 este reprezentat un patrat ABCD cu latura de 7 cm. Pe laturile AB, BC, CD, DA se considera punctele M, N, P si respectiv Q, astfel incat AM=BN=CP=DQ=3cm. Demonstrati ca MNPQ este patrat. Ofer 30 de puncte

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

AM=BN=CP=DQ=3cm, ⇒MB=NC=PD=QA=7-3=4cm, atunci ΔAMQ≡ΔBNM≅ΔCPN≅ΔDQP, ⇒MN=NP=PQ=QM.

Din ΔAMQ, ⇒MQ²=AM²+AQ²=3²+4²=25, deci MQ=5cm.

Trasam NE⊥AD, E∈AD, atunci AE=BN=3cm, iar QE=AQ-AE=4-3=1cm. NE=AB=7cm. Atunci, din ΔNQE, ⇒NQ²=NE²+QE²=7²+1²=49+1=50.

In ΔNMQ, verificam T.Pitagora, NM²+MQ²=5²+5²=50=NQ², ⇒ΔNMQ este dreptunghic, ∡NMQ=90°. Din faptul ca patrulaterul are toate laturile congruente, ⇒MNPQ romb, iar daca MNPQ are un unghi drept, ⇒MNPQ este patrat.