Question

În figura 1 este reprezentat un trapez isoscel ABCD având bazele AB=120m şi CD=60m , în care AC perpendicular pe BC şi CM perpendicular pe AB , M aparține [AB]
a) Arătați că MB=30m
b) Demonstrați că aria trapezului nu este mai mare de jumătate de hectar.(Se consideră cunoscut că 1,73< radical din 3< 1,74.)
c) Dacă N este simetricul pumctului B fața de M , arătați că DN este bisectoare unghiului ADC.

Answer 1

uitasesi  figura. am incercat sa 'pictez" eu una...................

Answer 2

a) Fie  BC ∩ AD = {F}.  În triunghiul ABF avem:

 CD || AB și CD = AB/2 ⇒ CD - linie mijlocie ⇒ BC = CF ⇒

⇒AC - mediană în ΔABF    (1)

Dar, AC ⊥ BC ⇒ AC ⊥ BF ⇒ AC - înălțime în ΔABF      (2)

(1), (2) ⇒ ΔABF - isoscel, AF = AB = 120m ⇒ AD = DF = 120/2 = 60m

ABCD - trapez isoscel ⇒ BC = AD = 60m ⇒ CF = BF = 60 m.

Prin urmare, triunghiul ABF - echilateral ⇒ m(∡B) = 60° ⇒ m(∡BCM) =30°

Din T.∡ 30° în ΔMBC ⇒ MB = BC/2 = 60/2 = 30m

c) Fie N simetricul lui B față de M ⇒ MN = MB = 30 m ⇒ BN = 60m ⇒

BN = AN = 60m ⇒ N -mijlocul lui AB ⇒ CN - mediană corespunzătoare

ipotenuzei în Δ CAB ⇒ CN = AB/2 = 120/2 = 60m.

CD || AB ⇒ CD || AN    (3)

CD = AN = 60 m ⇒ [CD] ≡ [AN]       (4)

(3), (4) ⇒ ANCD - paralelogram        (5)

AD = AN = 60 m  ⇒  [AD] ≡ [AN]      (6)

(5), (6) ⇒ ANCD - romb.

DN - diagonală în romb ⇒ DN bisectoare pentru ∡ADC.

b) 

[tex]\it \mathcal{A}_{ABCD} = \mathcal{A}_{FAB}-\mathcal{A}_{FDC} = \dfrac{120^2\sqrt3}{4} - \dfrac{60^2\sqrt3}{4} = \dfrac{\sqrt3}{4} (120^2-60^2) = \\ \\ \\ = \dfrac{\sqrt3}{4} \cdot 10800 = 2700\sqrt3 m^2 [/tex]


[tex]\it \mathcal{A}_{ABCD} = 2700\sqrt3 \ \textless \ 2700\cdot1,74 = 27\cdot174 = 4698 m^2 \ \textless \ 5000m^2 \\ \\ \\ 5000m^2 = \dfrac{1}{2} ha \Rightarrow \mathcal{A}_{ABCD} \ \textless \ \dfrac{1}{2}ha[/tex]