Question

In figura 1 este reprezentat un triunghi ABc,avand AC=2,m unghiului A=60 de grade si m unghiului B=45 de grade.AD este bisectoarea unghiului BAC,D apartine lui BC,iar M si N sunt proiectiile punctului D pe AB respectiv C.
a)Aratati ca ADC este isoscel
b)Demonstrati ca DM=DN=1cm
c)Calculati aria triunghiului ABC

Answer 1

AD bisectoare deci m(ADC)=30 grd
suma unghiurilor in triunghiul ADC este 180 grade, deci m(ADC)=180-30-47=75grd
deci triunghiul are doua unghiuri egale cu 75 grd, fiind astfel isoscel cu AD=AC=2cm

proiectiile lui D pe AB si AC inseamna perpendicularele din D pe cele doua laturi (Mapartine luiAB si N apartine lui AC )
In triunghiurile dreptunghice ADN si ADM, MD si ND sunt catete ce se opun unor unghiuri de 30 grade deci au lungimea jumatate din ipotenuza comuna AD
atunci DM=DN=1/2*AD=1/2*AC=2/2=1cm

-triunghiul BDM este dreptunghic cu un unghi de 45 deci este isoscel, adica MD=BM=1cm
in triunghiul MDA aplic Pitagora
AM^2=AD^2-MD^2=4-1=3     AM=rad3
AB=BM+MA=1+rad3
Aria =Aabc=Aadb+Aadc=MD*AB/2+ND*AC/2=(1+rad3)/2+1*2/2=(3+rad3)/2 cm^2