Question

În figura 2 este desenat un pătrat ABCD, cu AB=6 cm. Triunghiul BEC, EB=EC, are aria de 9 cm pătrați și F este punctul de intersecție a dreptelor BC și AE.
a) Arătați că distanța de la punctul E la dreapta BC este egală cu 3 cm.
b) Arătați că dreptele AC și BE sunt paralele
c) Aflați lungimea segmentului BF.

Answer 1

notam EP inaltimea din E pe BC in triunghiul BEC (care fiind isoscel determina ca P sa fie mijlocul lui BC)
Aria=Abec=EP*BC/2   deci EP=2*Abec/BC=2*9/6=3cm

in triunghiul BEP se observa ca avem catetele BP=EP=3, deci este si isoscel
atunci m(EBP)=45=m(BCA)
Din teoria paralelismului, daca secanta BC taie 2 drepte BE si AC si determina cu aceste aparitia de unghiur alterne interne egale ( m(EBP)=45=m(BCA)), atunci BE II AC

in triunghiul dreptunghic ACE (C =45+45=90) teorema bisectoarei CF spune ca aceasta determina pe AE segmente proportionale cu laturile adiacente
EF/AF=CE/AE
dar Pitagora in EPF   EF=3rad2;Pitagora in ACE: AE=3rad10
diagonala AC in patrat este 6rad2=AC
deci EF/AF=3rad2/6rad2=1/2 adica  2EF=AF  deci EF=AE/3 =rad10

aplicam Pitagora in EFP
PF^2=EF^2-EP^2=10-9=1   PF=1 si deci BF=BP-PF=3-1=2 cm