Question

In figura 2 este desenat un patrat ABCD cu AB=8 cm.Punctul E se afla in interiorul lui ABCD astfel incat EA=EB=5 cm iar punctul M este mijlocul laturii DC.
a)Aratati ca distanta de la punctul E la laura AB este egala cu 3 cm.
b)Aratati ca dreptele EM si DC sunt perpendiculare.
c)Aflati cati cm^ are aria trapezului BCME.

Answer 1

triunghiul ABE este isoscel, EF este mediana si inaltime
EF⊥AB
pitagora in BEF ⇒ EF=√(25-16)
EF=3 cm
BF=CM ⇒ BCMF este paralelogram cu 2 unghiuri drepte deci este dreptunghi
rezulta ca FM║BC
dar EF⊥AB ⇒ EF║BC ⇒ EF∈FM ⇒ E∈FM ⇒ F,E,M sunt coliniare
in concluzie EM║BC ⇒ EM⊥CD
aria trapezului BCME
At=(BC+EM)xCM/2=(8+8-3)x4/2
At=26 cm2

Answer 2

construim EP inaltimea din E pe AB in triunghiul AEB, care este distanta ceruta la punctul a) 
AEB este triunghi isoscel, deci inaltimea EP este si mediana, adica AP=PB=4cm
aplic Pitagora in AEP
EP^2=AE^2-AP^2=25-16=9       EP=3cm

ducem perpendicularele din E pe CD si AD (R apartine lui AD si Q apartine lui CD)
se arata usor ca triungiurile AEP si ARE sunt congruente deci ER=AP=4cm
se arata usor ca triungiurile DEP si DEQ sunt congruente deci EQ=BP=4cm
deci E se afla pe MP, care este paralela cu AD (perpendiculara pe DC)
deci EM perpendiculara pe DC

Aria trapezului este
A=Abcmp-Apeb=MC*BC-PB*EP/2=4*8-4*3/2=32-6=26cm patrati