Question

În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AD =12cm şi AC = 20cm . Punctul M este mijlocul laturii AD , iar punctul N se află pe latura CD astfel încât DN = 4cm .
a) Arătați că AB =16cm .
b) Arătați că raportul dintre aria triunghiului DMN și aria triunghiului ABM este egal cu14.
c) Determinați distanța de la punctul M la dreapta BN .

Answer 1

AC e diagonala
AD lățimea
AB Lungimea =rad(20^2-18^2)=rad256=16 cm

ABM este un sfert din dreptunghi, iar DMN reprezintă o 16zecime din dreptunghi, raportul find de A/4/A/16=16/4=4

MN ipotenoză pentru DMN, unde DN=4 si DM=AD/2
MN=rad(4^2+6^2)=rad(16+36)=rad52=2rad13 cm
.

Answer 2

Desenăm dreptunghiul ABCD, notat trigonometric din stânga jos.

Scriem 12 pe AD

BC = AD = 12 cm (laturi opuse). Scriem 12 pe BC.

Ducem diagonala AC și scriem 20 pe aceasta.

a) Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul ABC, dreptunghic în B :

AB² = AC² - BC² ⇒ AB² = 20² - 12² = (20 - 12)(20 + 12) = 8·32 = 8·8·4=

= 8²·2² ⇒ AB = √(8²·2²) ⇒ AB = 8·2 ⇒ AB = 16 cm

b)

Desenăm același dreptunghi și fixăm mijlocul lui AD în M.

DM = MA = AD/2 = 12/2 = 6 cm. Scriem 6 pe DM și pe MA.

Scriem 16 pe AB.

Fixăm punctul N pe CD, astfel încât DN = 4 cm.

Scriem 4 pe DN.

Aria(DMN) = DM · DN /2 = 6·4/2 = 12 cm²

Aria(ABM) =MA · AB /2 = 6·16/2 = 48 cm²

Aria(DMN)/ Aria (ABM) = 12/48 = 1/4

c)

Folosim același dreptunghi ca la b).

Unim B cu N.

Aria (BNM) = Aria(ABCD) - [Aria(DMN) +Aria(ABM) + Aria(BCN)]   


Aria(ABCD) + AB · BC = 16·12 = 192 cm²

Aria(BCN) = BC · CN/2 = 12·12/2 = 72 cm²


Aria(BNM) = 192- (12+48+72) = 192 -132 = 60 cm²

Cu teorema lui Pitagora, în triunghiul BCN,  se determină BN = 12√2cm.

Fie h distanța de la  M la BN (h este lungimea înălțimii duse din M pe BN).

Aria (BNM) = BN·h/2 ⇒ 60 = 12√2 · h/2 ⇒ 120 = 12√2·h ⇒

⇒ h = 120/(12√2) =10/√2 =10√2/2 =5√2 cm