Question

In figura 2 este reprezentat un triunghi dreptunghic ABC, cu catedrele AB=3 cm si AC=4 cm. Se stie ca: AD este bisectoarea unghiului BAC, D ∈ BC; DE ⊥ AB, E ∈ AB; DF ⊥ AC, F ∈ AC.
a) Arătați ca patrulaterul AEDF este pătrat.
b) Arătați că DE/AC + DF/AB = 1
c) Demonstrati ca AD = 12√2/7 cm

Answer 1

AEDF este paralelogram avand laturile opuse paralele
totodata ele este dreptunghi deoarece are un unghi drept (A)
cum diagonala sa,AD, este bisectoarea unghiului A, cele 2 unghiuri au masura 90/2=45grd
Atunci triunghiul AED este isoscel cu AE=ED si deci toate laturile lui sunt egale
Concluzie  dreptunghiul cu laturile egale este patrat

CU T.Thales in ABC unde DE II AC
BD/BC=DE/AC
CU T.Thales in ABC unde DF II AB
CD/BC=DF/AB
Adunand cele 2 rapoarte:DF/AB+DE/AC=CD/BC+BD/BC=BC/BC=1

cu Pitagora aflam imediat ca BC=5
notam l=latura patratului
rapoartele anterioare se scriu
BD/BC=DE/AC adica BD/5=l/4  
CD/BC=DF/AB adica CD/5=l/3
le adunam BD+DC/5=l/3+l/4
1=7l/12
l=12/7
cu Pitagora in triunghiul dreptunghic AED
AD^2=2l^2   
AD=l*rad2=12*rad2/7