Question

În figura 2 este
reprezentată o grădină în interiorul căreia se găseşte o piscină circulară înscrisă în triunghiul dreptunghic isoscel ABC cu AB=40m.Arcul de cerc BMC este un arc din cercul cu centrul în O.
a)Să se calculeze suprafaţa piscinei
b)Să se calculeze distanţa de la B la centrul piscinei.
c)Determinaţi aria grădinii

Answer 1

a) Avem AB=AC=40m, iar $BC=AB \sqrt{2}=40 \sqrt{2} (m)$

$A_{ABC} = \frac{AB*AC}{2} =800~(m^{2}) \\ p= \frac{AB+BC+AC}{2} = \frac{80+40 \sqrt{2} }{2}=40+20 \sqrt{2}~(m) \\ r= \frac{A}{p}= \frac{800}{40+20 \sqrt{2} }= \frac{800}{20(2+ \sqrt{2} )}= \frac{40}{2+ \sqrt{2} } = \frac{40(2- \sqrt{2)} }{2}= 40-20 \sqrt{2} ~(m).$

b) Fie N-mijlocul ipotenuzei [BC], rezulta ca A,O,N sunt coliniare (pentru ca triunghiul este dreptunghic isoscel)
Mai mult, AN_|_BC, deci ΔBON este dreptunghic in N.
$BN= \frac{AB}{2} = \frac{ 40\sqrt{2} }{2}= 20\sqrt{2}~(m).$
$NO=r=40- 20 \sqrt{2}~m.$
Aplic teorema lui Pitagora in ΔBON:

$BN ^{2} + NO^{2}=BO^{2} \Rightarrow BO= \sqrt{BN ^{2}+ NO^{2} }= \sqrt{800+(40-20 \sqrt{2}) ^{2} } \\ =\sqrt{800+1600-1600 \sqrt{2} +80} = \sqrt{2480-1600 \sqrt{2} } =4 \sqrt{155-100 \sqrt{2} } \\ (m).$

c) m(<BOC)= 180*-45*=135*.
Aria determinata de arcul BC si segmentele [BO] si [CO] este $\frac{ \pi BO ^{2}*m(BOC) }{360} =6 \pi (155-100 \sqrt{2})$ (m²)
$A _{lac} = \pi r^{2}= \pi (40- 20\sqrt{2}) ^{2}$. (m²)
$A_{gradina}= A_{\Delta}+ A_{sector}- A_{lac} =...(le~ai~pe~toate;~tot~ce~trebuie \\ sa~faci~este~sa~le~inlocuiesti).$