Question

În figura 3 este desenat un tetraedru regulat ABCD cu aria totală de 36√3 (m²).
a) Arătați că BC=6 (m)
b) Calculați distanța de la punctul A la planul BCD
c) Arătați că dreptele AB și CD sunt perpendiculare.

Answer 1

Aria totala este egala cu de 4 ori aria unei fete(fiecare fata fiind un triunghi echilateral de latura l). Deci Atriunghi=Atot/4=9rad3
dar la un triunghi echilatera aria =l^2rad3/4
egaland l^2rad3/4=9rad3 avem l^2=36 l=6

Distanta ceruta este defapt inaltimea dusa din A spre baza BCD si tetraedrul fiind regulat, aceasta va fi chiar AG, unde G este centrul de greutate al bazei, aflat la 2/3 de varfuri si la 1/3 de laturi (este situat pe mediane=inaltimi=bisectoare intr-un triunghi echilaterat=l*rad3/2)
in triunghiul AGB   AGpatrat=ABpatrat-BGpatrat
                                AG^2=l^2-(2/3*l*rad3/2)=36-12=24, deci AG=2rad6

BG este si inaltime in BCD si intersecteaza CD in M
la fel in ACD AM este mediana, deci si inaltime
Cele 2 constatari arata ca CD perpendiculara si pe AM si pe BM, deci pe toate dreptele aflate in planulABM, deci si pe AB

Am folosit faptul ca o dreapta perpendiculara pe un plan este perpendiculara pe toate dreptele din plan
si faptul ca o dreapta perpendiculara pe 2 drepte concurente este perpendiculara pe toate dreptele din planul celor doua.