Question

În Figura 3 este reprezentat un romb ABCD cu AC=12√ 3 cm . Punctul O este intersecția dreptelor AC și BD , iar dreapta VO este perpendiculară pe planul ( ABC) , VO = 6cm . Punctele M , N și P sunt situate pe segmentele VB , VC și, respectiv, VO astfel încât 2 supra 3= VM supra VB  , CN = 4cm și VP= 2 x PO .
a) Arătați că lungimea segmentului CO este egală cu 6√ 3 cm .
b) Demonstrați că planele MNP și  ABC sunt paralele.
c) Determinați distanța dintre planele paralele MNP și  ABC

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a) VO⊥(ABC), ⇒VO⊥OC, OC=(1/2)·AC=6√3cm. Atunci, din ΔVOC, după Pitagora, ⇒VC²=VO²+OC²=6²+(6√3)²=6²+6²·3=6²·(1+3)=6²·4, ⇒VC=12cm

⇒VN=12-4=8cm, ⇒VN/VC=8/12=2/3=VM/VB.  Atunci VM/MB=2/1=VN/NC. După Thales, ⇒MN║BC. La fel se arată că PM║OB și PN║OC.

Dar, dacă două drepte concurente ale unui plan sunt respectiv paralele cu două drepte concurente ale altui plan, atunci planele sunt paralele, deci (MNP)║(ABC).

c)VO⊥(ABC), atunci și VP⊥(MNP), ⇒d((MNP),(ABC))=PO=(1/3)·VO=(1/3)·6=2cm.