Question

In figura 4 este reprezentat un turn format dintr-o prisma triunghiulara ABCA'B'C' si un tetraedru regulat VA'B'C'. Se stie ca AB=6 m, AA'=30 m, VO ⊥(ABC), O apartine (ABC) si VO intersecteaza (A'B'C') in O'.
a) Aratati ca VO= 2(15+ √6) m
b) Determinati cosinusul unghiului dintre dreapta VA' si planul (ABC)
c) Calculati distant a de LA punctual O'la planul (VB'C')

Answer 1

a) VO = VO' + OO';
OO' = AA' = 30 m;
VA' = A'B'= 6 m;
A'O' = (2/3)*(h triunghi echilateral) = (2/3)*(6$\sqrt{3} /2)$ = 2$\sqrt{3}$ m;
Cu T.P. in triunghiul dreptunghic VA'O' obtinem ca VO' = 2$\sqrt{6}$ cm;
Asadar, VO = 30 + 2$\sqrt{6}$ = 2(15 + $\sqrt{6} )$ cm;
b) Completezi desenul cu unghiul cerut!
Conform T. de paralelism cu unghiuri alterne interne congruente =>
cos<(VA';(ABC)) = cos<(VA';(A'B'C')) = cos<VA'O' = A'O'/VA' = $\sqrt{6} /3 ;$
c) Trasezi apotema triunghiului echilateral A'B'C' si apotema tetraedrului regulat VA'B'C' pe fata VB'C'; ele se intalnesc in mijlocul segmentului [B'C']; fie acesta M;
Distanta ceruta este inaltimea dusa din O' in triunghiul dreptunghic VO'M;
Fie aceasta O'N;
Conform T. a 2-a a inaltimii => O'N = (VO' x O'M)/VM;
Dar, O'M = l$\sqrt{3} /6 = \sqrt{3} m;$ 
VM = [tex] \sqrt{21} m; [/tex]
Atunci O'N = 2$\sqrt{42} /7$ m.
Bafta!