Question

in figura abcd este patrat cu altura de 6 punctele m si n se afla pe laturile ad respectiv cd astefl incat unghiu abm=15 grade si mn paralel cn
demonstreaza ca triunghiul bmn echilateral​

Answer 1

Cum demonstrăm că triunghiul BMN este echilateral?

• Ne folosim de proprietatea liniilor paralele tăiate de o secantă, de diferența unghiurilor formate cu diagonala pătratului și de congruența unor triunghiuri.

ABCD este pătrat, ∡ABM = 15°, M∈AD, N∈CD, MN || AC

• în pătrat, diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor
• două drepte paralele tăiate de o secantă formează perechi de unghiuri alterne interne

$(1) \ \ \ \measuredangle DMN = \measuredangle DAC = 45^{0} \ \ (alterne \ interne)$

în ΔABM avem:

$(2) \ \ \ \measuredangle AMB = 90^{0}-\measuredangle ABM = 90^{0}-15^{0} = 75^{0}$

din (1) și (2):

$\measuredangle BMN = 180^{0}-(\measuredangle AMB+\measuredangle DMN) = 180^{0}-(75^{0}+45^{0}) = 180^{0}-120^{0}$

$(3) \ \ \implies \measuredangle BMN = 60^{0}$

ΔDMN este dreptunghic isoscel ⇒ MD≡ND

AM=AD-MD și CN=CD-ND

$(4) \ \ \implies AM \equiv CN$

din (4) și AB≡BC:

$\Delta ABM \equiv \Delta CBN \ (cazul \ C.C.)$

$(5) \ \ \implies BM \equiv BN \implies \Delta BMN \ este \ isoscel$

• triunghiul isoscel cu un unghi de 60° este triunghi echilateral

din (3) și (5) ⇒ ΔBMN este echilateral

q.e.d.