Question

In figura alaturata ΔABC este echilateral si [AA`]≡[BM].
Demonstrati ca:
a)ΔAA`C≡ΔBCM
b)ΔA`CM este echilateral
c)MB+MC=MA

Answer 1

Am atasat desenul.
ip: ΔABC echilateral
     [AA`]≡[BM]
a)  ΔABC echilateral (din ip) rezulta ca AC≡BC≡AB.
m(<CAM)=m(<CBM) (unghiuri care subintind aceeasi coarda, MC, deci si arcul mic corespunzator)
[AA`]≡[BM] (ip)
Deci ΔAA`C≡ΔBCM (L.U.L.)

b) Intrucat ΔABC echilateral, rezulta ca m(<BAC)=60 grade (este unghi cu varful pe cerc si are masura egala cu jumatate din arcul pe care il subintinde), deci arcul mic (BMC) are masura 2*60=120 grade. Prin urmare arcul mare (BAC) are masura 360-120=240 grade, deci m(<BMC)=240:2=120 grade.

Din congruenta de la punctul a) rezulta ca m(<BMC)=m(<AA'C)=120 grade, deci m(<MA'C)=m(AA'M)-m(AA'C=180-120=60 grade.

Dar tot din congruenta de la punctul a) rezulta ca A'C≡MC, deci ΔMCA' este isoscel, cu un unghi de la baza m(<MA'C)=60 grade, deci ΔA'CM este echilateral.

c) Cum MB≡A'A (din ip) si MC≡A'M (din b), rezulta ca:
MB+MC=A'A+MA'=AM.