Question

În figura alăturată ABC este un triunghi isoscel cu baza BC.

Mediatoarea segmentului AB intersectează latura AB în M și prelungirea

laturii BC în P.
Arătați că AB la pătrat = BC · PB​

Answer 1

AB=12cm

AB=3×BC⇒ BC=4cm

• MP mediatoare ⇒ AM=MB, PM⊥AB

• PM mediana ⇒ ΔAPB isoscel ⇒AP=PB

Fie AN⊥BC

• ΔABC isoscel⇒ N mijlocul lui BC⇒ BN=NC=2

• Aplicam Pitagora in ΔANB

AB²=BN²+AN²

AN²=144-4

AN=√140=2√35

• In ΔANP dr in N aplicam Pitagora

AP²=AN²+NP²

• Notam pe CP=x⇒ NP=NC+CP=2+x

Deci vom avea:

AP²=140+(2+x)²

Dar AP=BP⇒ AP²=BP², BP=BC+CP=4+x

Adica vom avea:

140+(2+x)²=(4+x)²

140+4+x²+4x=16+8x+x²

144-16=4x

x=128:4=32cm⇒ CP=32cm

AB²=144

BC=4

PB=BC+CP=4+32=36cm

Deci 144=4×36⇒ AB²=BC×PB