Question

In figura alaturata AD , HG si BC  sunt perpendiculare pe AB .
Demonstrati ca : 
a) AH * GB = HB * DG ; 
b) AH * GC = HB * AG ; 
c) AH * BC = HB * AD 
Ajutati-ma repedee

Answer 1

a) Din AD, BC si GH perpendiculare pe aceeasi dreapta, AB, rezulta ca
AD || GH || BC si deci avem tr BGH asemenea cu tr BDA, deci:

$\frac{BH}{BA} = \frac{BG}{BD}$ = \frac{GH}{AD} [/tex] si din proprietatile rapoartelor egale deducem:

$\frac{BH}{AB-BH} = \frac{BG}{BD-BG}$, adica

$\frac{BH}{AH} = \frac{BG}{GD}$  (rel 1)

Facem produsul mezilor=produsul extremilor si obtinem exact:

AH * GB = HB * DG ;

b) De asemenea avem triunghiul AGH asemenea cu tr ACB, deci:

$\frac{AH}{AB} = \frac{AG}{AC}$ = \frac{GH}{BC} [/tex] si din proprietatile rapoartelor egale deducem:

$\frac{AH}{AB-AH} = \frac{AG}{AC-AG}$, adica

$\frac{AH}{HB} = \frac{AG}{GC}$  (rel 2)

Facem produsul mezilor=produsul extremilor si obtinem exact:

AH * GC = HB * AG ;

c) Din AD || BC rezulta triung DGA asemenea cu tr BGC, deci:

$\frac{DC}{BG} = \frac{AG}{GC}$ = \frac{AD}{BC} [/tex]  (rel 3)

Din (rel 1), (rel 2) si (rel 3) rezulta egalitatea:

$\frac{AH}{HB} = \frac{DG}{GB} = \frac{AG}{GC} ] = \frac{AD}{BC}$

adica:

$\frac{AH}{HB} = \frac{AD}{BC}$  ceea ce este exact:
 
AH * BC = HB * AD