Question

În figura alăturată, dreptunghiul ABCD are perimetrul egal
cu 30 cm, iar raportul dintre BC și AB este egal cu 2/3
Punctul N este mijlocul laturii AD, iar punctul M se află pe
CD, astfel încât MC = 2 · DM.
a) Arată că triunghiul BMN este dreptunghic.
b) Demonstrează că distanta de la M la BN este mai mare
de 3,6 cm.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$\frac{l}{L} = \frac{2}{3} = > 2L = 3l\\ P=2L + 2l = > 3l + 2l = 30 \\ 5l = 30 = > l = 6 \\ = > BC = AD = 6 \: cm \\ L = \frac{3l}{2} = \frac{3 \times 6}{2} = > L = 9 \\ = > AB = DC = 9 \: cm$

Punctul N este mijlocul laturii AD:

$AN = ND = \frac{AD}{2} = \frac{6}{2} = 3 \: cm$

Punctul M se află pe CD, astfel încât MC = 2×DM:

$CD = MC + DM = 2 \times DM+ DM = 3 \times DM$

$= > DM = \frac{CD}{3} = \frac{9}{3} = > DM = 3 \: cm$

$MC = 2 \times DM = 2 \times 3 = > MC = 6 \: cm$

ND = DM = 3 cm, <D = 90° => triunghiul DMN este dreptunghic isoscel => <DMN = 45°

BC = CM = 6 cm, <D = 90° =>triunghiul CMB este dreptunghic isoscel => <CMB = 45°

<NMB = 180° - (<DMN + <CMB) = 180° - 90° = 90°

=> triunghiul NMB este dreptunghic în M.

b)

$NM² = ND² + DM² = 18 => NM = 3 \sqrt{2} \: cm$

$MB² = BC² + CM² = 72 => MB = 6 \sqrt{2} \: cm$

$NB² = NM² + MB² =18 + 72 = 90 = > NB =3 \sqrt{10} \: cm$

$PM = \frac{NM \times MB}{NB} = \frac{3 \sqrt{2} \times 6 \sqrt{2} }{3 \sqrt{10} } = \frac{36}{3 \sqrt{10} } < \frac{36}{10} = 3.6 \: cm$