Question

In figura alăturată, dreptunghiul ABCD reprezintă schematic un plic închis, unde AC BD = {0}. Se ştie că PAOB = 50 cm, PBOC = 36 cm şi PCDA = = 60 cm. a) Calculaţi aria dreptunghiului ABCD. b) Determinaţi sinusul unghiului format de diagonalele dreptunghiului ABCD.

repede vă rog :'/​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ABCD este dreptunghi => AB≡CD și BC≡AD

AC ∩ BD = {O}

AC și BD sunt diagonale => AO≡BO≡CO≡DO

AO = ½×AC => AC = 2×AO

P(ΔAOB) = AB+AO+BO = AB+2×AO = AB+AC

=> AB+AC = 50 cm (1)

P(ΔBOC) = BC+BO+CO = BC+2×AO = BC+AC

=> BC+AC = 36 cm (2)

P(ΔCDA) = CD+AD+AC = AB+BC+AC

=> AB+BC+AC = 60 (3)

din (1)+(2)-(3):

AB+AC+BC+AC - (AB+BC+AC) = 50+36-60

=> AC = 26 cm

înlocuim în (1) și (2):

AB + 26 = 50 => AB = 24 cm

BC + 26 = 36 => BC = 10 cm

a)

Aria (ABCD) = AB×BC = 24×10 = 240 cm²

b)

AO = BO = ½×AC = ½×26 = 13 cm

Aria (ΔAOB) = ¼×Aria (ABCD) = ¼×240 = 60 cm²

Aria (ΔAOB) = ½×AO×BO×sin(∢AOB)

60 = ½×13×13×sin(∢AOB)

$sin(\angle AOB) = \dfrac{2 \cdot 60}{ {13}^{2} } \implies \bf sin(\angle AOB) = \dfrac{120}{169}$