Question

În figura alăturată este reprezentat triunghiul ABC dreptunghic în A, cu
AB= 8 cm şi AC = 6 cm, iar punctele M şi N sunt situate pe laturile AB,
respectiv AC, astfel încât AM= 3 cm şi AN=4 cm.
b) Perpendiculara din A pe BC intersectează segmentul MN în P. Demonstrează că punctul P este mijlocul segmentului MN.
dau coroana si puncte

Answer 1

Explicație pas cu pas:

ducem AR ⊥ BC, R ∈ BC

$\dfrac{AC}{AB} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} = \dfrac{AM}{AN} \iff \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB}$

=> ΔANM ~ ΔABC =>

∢AMN ≡ ∢ACB = x => ∢AMP = x

∢ANM ≡ ∢ABC = y => ∢ANP = y

ΔABC și ΔANM sunt dreptunghice

=> x + y = 90°

▪︎ în ΔARB dreptunghic:

=> ∢ABR + ∢BAR = 90°

∢ABR = y => ∢BAR = x => ∢MAP = x

▪︎ în ΔARC dreptunghic:

=> ∢ACR + ∢CAR = 90°

∢ACR = x => ∢CAR = y => ∢NAP = y

▪︎ în ΔAPM: ∢AMP = ∢MAP = x

=> ΔAPM este isoscel => AP ≡ MP

▪︎ în ΔAPN: ∢ANP = ∢NAP = y

=> ΔAPN este isoscel => AP ≡ NP

atunci: AP ≡ MP ≡ NP

=> P este mijlocul segmentului MN

q.e.d.